What

  • 선형 대수의 대 마왕 길버트 스트랭 님의 강의를 틈틈이 다시 듣고 있다.
  • 개인적으로 정리하는 내용이므로 많이 불친절하니 알아서들 보시라. 마.
    • 스트랭 선생님의 원래 강의 취지와 다른 경우도 종종 있을 것이다…

Source

2. Elimination with Matrices

How To View Matrix

  • 일단 매트릭스를 이해하는 방법부터 뜯어 고치자.
  • 계속 강조하듯이, 매트릭스는 일종의 함수다.
    • 그런데 인풋을 왼쪽에도 넣을 수 있고, 오른쪽에도 넣을 수 있다.

Right Operation

$A \in {\mathbb R}^{m \times n}$, $x \in {\mathbb R}^{n \times 1}$

$$ A x = \begin{bmatrix} c_1 & \dotsc & c_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = c_1 x_1 + \dotsb + c_n x_n $$

이 표기식은 $A$의 컬럼 벡터가 $x$의 원소들에 의해 선형결합되는 것임을 잘 보여준다.

Left Operation

$A \in {\mathbb R}^{m \times n}$, $x \in {\mathbb R}^{1 \times m}$

$$ x A = \begin{bmatrix} x_1 & \dotsc & x_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r_1 \\ \vdots \\ r_m \end{bmatrix} = x_1 r_1 + \dotsb + x_m r_m $$

이 표기식은 $A$의 로우 벡터가 $x$의 원소들에 의해 선형결합된다는 것을 보여준다.

Matrix Operation

일단 이해를 돕기 위해서 $3 \times 3$ 매트릭스를 예로 들겠다.

$$ T \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ \end{bmatrix}}_{A} = \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \\ \end{bmatrix}}_{B} $$

이때 변형 매트릭스 $T$를 어떻게 찾을 수 있을까? 먼저 $T$는 매트릭스 $A$의 왼쪽에 있다. 따라서 매트릭스 $T$의 로우 벡터들은 각기 $A$의 로우 오퍼레이션을 수행한다. 즉, 매트릭스 $B$의 첫번째 로우는 $A$와 같다. 따라서, $A$의 첫번째 행에는 $[1~0~0]$이 들어간다. 같은 논리로 $T$ 를 찾으면 다음과 같다.

$$ T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

$T$는 무엇을 의미하는가? $B$의 경우 첫번째 로우와 세번째 로우는 $A$와 동일하다. 그리고 두번째 로우의 경우 첫번째 로우에 $-3$을 곱한 후 이를 두 번째 로우와 더한 것이다. 식은 이를 그대로 나타낸다. $T$의 경우 1열과 2열만 결합된다는 의미에서 $E_{12}$로 표기하기도 한다.

그리고 이는 사실 사다리꼴 행렬 혹은 기약 사다리꼴 행렬을 만드는 과정이다. 자세한 것은 이 포스트를 참고하라.

Permutation matrix

만일 $2 \times 2$ 매트릭스에서 1행과 2행을 바꾸는 작업은 어떻게 수행할까?

$$ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c & d \\ a & b \\ \end{bmatrix} $$

이렇게 하면 된다. 만일 1열과 2열을 바꾸고 싶다면? 열을 조작하는 작업이니 이번에는 매트릭스가 $A$의 오른쪽에 와야 한다.

$$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b & a \\ d & b \\ \end{bmatrix} $$