Vector Geometry, part 1

Concepts

편의상 3차원 공간으로 예시하도록 한다. $n$ 차원으로 확장은 쉽게 된다.

• $p = (p_x, p_y, p_z)$: $p \in \mathbb R^3$
• $\vec v = (v_x, v_y, v_z)$: $\vec v \in \mathbb R^3$
• $\hat v = \dfrac{v}{\lVert v \lVert}$: Unit vector

Vector

$p_0$를 지나는 무한의 1차원 벡터는 다음과 같이 정의된다.

• Parametric equation:

$$l : \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 | p_0 + t \vec v, t \in \mathbb R\}$$

• Symetric equation:

$$l: \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 | \dfrac{x - p_{0x}}{v_x} = \dfrac{y - p_{0y}}{v_y} = \dfrac{z - p_{0z}}{v_z} \}$$

Plane

$p_0$를 지나는 무한 평면 P는 다음과 같이 정의된다. 평면을 표현하기 위해서는 벡터 두 개( $\vec v, \vec w$ )가 필요하다.

• General equation

$$P: \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 | Ax + By + Cz = D \}$$

• Parametric equation

$$P : \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 | p_0 + s \vec v + t \vec w, s,t \in \mathbb R \}$$

• Geometric equation

$$P : \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 | \vec n \cdot [(x,y,z) - p_0] = 0 \} \text{~with normal vector $\vec n$}$$

Point vs vector

점과 벡터의 차이는 무엇일까? 점은 좌표계에서 원점을 기준으로 한 위치를 나타낸다. 벡터는 크기와 방향을 모두 나타내며, 벡터는 $(0,0)$ 같은 기준이 없다. 벡터에서 중요한 것은 크기와 방향이다. 좌표 상에서 위치가 달라고 크기와 방향이 같으면 같은 벡터다.

벡터를 점으로 나타내려면 어떻게 해야 할까? 두 점의 차이를 구하면 이는 벡터가 된다. 쉽게 생각해보자. 2차원 데카르트 좌표계에서 $(3,3)$이라는 점을 생각해보자. $(3,3)$이면 그냥 점이다. 반면, $(3,3) \leftarrow (0,0)$을 의미하면 $(3,3)$은 벡터다. 그래프 상에서 $(0,0)$에서 $(3,3)$으로 화살표를 그리면 이 역시 벡터다. 아래 그림을 참고 하자.

Normal vector

노멀 벡터는 아래 평면(plane) 혹은 벡터과 직교하는 성분의 벡터다. 이 녀석을 어떻게 구할까? 평면 $P$의 parametric 식을 보자. 2차원 플레인을 구성하는 두 벡터 $\vec v$, $\vec w$가 있다. 노멀 벡터는 이 두 성분 모두와 직교하는 성분의 벡터이다. 이는 바로 크로스 프로덕트의 정의를 그대로 따른다. 평면위의 어떤 세 점 $p, q, r$이 있다고 하자. 평면 위에 존재하는 벡터 두 개를 $\vec v = q - p$, $\vec w = r - p$과 같이 만들자. 이 벡터와 직교하는 벡터 $\vec n$은 다음과 같다.

$$\vec n = \vec v \times \vec w = (q-p) \times (r-p)$$

Distance

거리 역시 세 가지로 나누어 이해해보자. 점과 점 사이의 유클리드 거리는 생략하겠다. 벡터와 점의 거리는 어떻게 구할까? 플레인과 점의 거리는 어떻게 구할까? 이 포스팅을 참고하라.